Question

5．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，分别以AB、AC为一边向外作等腰△ADB和等腰△ACE，AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=x，∠BAC=y（其中2x+y＜180°）．
（1）若∠DAE=120°，则△ADE的面积是12$\sqrt{3}$；
（2）若x=40°，y=50°，判断△ABC和△ADE的面积是否相等，并说明理由；
（3）当x，y具备怎样的数量关系时，△ABC和△ADE的面积一定相等？（直接写出答案，不必证明）．

Answer 1

分析 （1）作EG⊥DA于G，求出EG，利用S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EG即可解决．
（2）作CM⊥AB于M，先证明△ACM≌△AEG得GE=CM，由${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$即可证明．
（3）结论：x+y=90°，只要证明∠CAM=∠GAE，利用∠DAB+∠BAC+∠CAE+∠GAE=180°即可证明．

解答 （1）解：作EG⊥DA于G．
∵∠DAE=120°，
∴∠EAG=180°-∠DAE=60°，
在RT△AEG中，∵AE=AC═8，∠GAE=60°，∠G=90°，
∴∠AEG=30°，AG=4，EG=4$\sqrt{3}$，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EG=$\frac{1}{2}$×$6×4\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．
故答案为12$\sqrt{3}$．
（2）结论：△ABC和△ADE的面积相等，理由如下：
证明：作CM⊥AB于M，
∵x=40°，y=50°，
∴∠DAE=130°，∠GAE=50°，
在△ACM和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMA=∠G=90°}\\{∠CAM=∠GAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△AEG，
∴GE=CM，
∵${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$，AD=AB，
∴△ABC和△ADE的面积相等．
（3）结论：x+y=90°，利用如下：
证明：∵${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$，AD=AB，
∴CM=GE，
在RT△CAM和RT△EAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{CM=GE}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△AEG，
∴∠CAM=∠GAE，
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE+∠GAE=180°，
∴2x+2y=180，
∴x+y=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、以及三角形面积等知识，正确作出三角形的高是解决问题的关键，属于中考常考题型．