Question

如图，⊙O与AO交于点B，与AC切于点C，已知AB=6，AC=

3

OB，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OC，过B作BD⊥AC于D，根据切线的性质求出∠OCA=90°，解直角三角形求出∠A=30°，求出高BD，根据三角形的面积求出即可．

解答：解：连接OC，过B作BD⊥AC于D，
∵AC切⊙O于C，
∴∠OCA=90°，
∵AC=

3

OB，
∴设OC=OB=x，则AC=

3

x，
∴tanA=

x

3 x

=

3

3

，
∴∠A=30°，
∴AO=2OC，
∵AB=6，
∴OC=OB=AB=6，AC=6

3

，BD=

1

2

AB=3，
∴△ABC的面积是

1

2

×AC×BD=

1

2

×6

3

×3=9

3

，
故答案为：9

3

．

点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形的应用，解此题的关键是求出高BD和边AC的长．