[题目]已知抛物线y＝ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6.0)和点B(-1.0).交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标,(2)如图(1).点P是抛物线上位于直线AC上方的动点.过点P分别作x轴.y轴的平行线.交直线AC于点D.E.当PD+PE取最大值时.求点P的坐标,(3)如图(2).点M为抛物线对称轴l上一点.点N为抛物线上一点.当直线AC垂直平分△AMN的边MN时.求点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)

【解析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．

解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），

∴

解得a＝－1，b＝5，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．

∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，

∴C（0，6），∴OC＝6．

∵A（6，0），

∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．

∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD＋PE＝2PE，

∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，

把A（6，0），C（0，6）代入得

解得k＝－1，d＝6，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．

设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），

∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．

∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，

∴P（3，12）．

（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．

∵l∥y轴，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，

∴NF∥x轴．

由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，

当x＝时，y＝，

∴F（，），

∴点N的纵坐标为．

∵点N在抛物线上，

∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

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