Question

【题目】如图，已知AD是△ABC的高，且AB+BD＝AC+CD，求证：AB＝AC.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；由AB+BD=CD+AC，得到DE=DF，又AD⊥BC；推出△AEF是等腰三角形；得到∠E=∠F；于是得到∠ABC=2∠E；同理得∠ACB=2∠F；证得∠ABC=∠ACB，即可得到结论．

证明：延长DB至E，使BE＝AB；延长DC至F，使CF＝AC；连接AE、AF．

∵AB+BD＝CD+AC，

∴DE＝DF，

又AD⊥BC，

∴△AEF是等腰三角形；

∴∠E＝∠F；

∵AB＝BE，

∴∠ABC＝2∠E；

同理，得∠ACB＝2∠F；

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，