Question

2．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AD及⊙O半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

Answer 1

分析 （1）三角形的内切圆的性质即可；
（2）先判断出∠C=∠PHA=90°，进而得出，△AHP∽△ACB，得出的比例式建立方程即可；
（3）分当点P在线段AC上时和当点P在AC的延长线上时两种情况讨论计算．

解答 解：（1）⊙O的半径r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=$\frac{1}{2}$（4+3-5）=1；
∴AD=3
（2）①如图1，若点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△PAH∽△BAC，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AC-PC}{AB}$
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4，
即y与x的函数关系式是y=-$\frac{5}{3}$x+4（0≤x≤2.4）；
②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，
$\frac{x}{3}=\frac{4+y}{5}$∴y=$\frac{5}{3}$x-4，即y与x的函数关系式是y=$\frac{5}{3}$x-4（x＞2.4），
（3）①当点P在线段AC上时，如图2，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-$\frac{5}{3}$x+4，解得，y=$\frac{3}{2}$．
②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出，△AHP∽△ACB．