Question

【题目】（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发　 　时，点P和点Q之间的距离是10cm；

（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？

（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？

Answer 1

【答案】（1）或 （2）； （3）或

【解析】

(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；

（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；

(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．

解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，

由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，

∵点P和点Q之间的距离是10 cm，

∴62+（16﹣5t）2＝100，

解得t1=，t2=，

∴t＝或.

故答案为或

（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，

∴四边形APEB是矩形，

∴PE＝AB＝6，BE＝6，

∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，

根据勾股定理得PQ=,

∴当t＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；

当t＝4 s时，由运动知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，

∴四边形APEB是矩形，

∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4

∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，

根据勾股定理得PQ=,

P，Q两点的距离为2cm.

（3）点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s，

当点P在AO上时，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝4．

当点P在OC上时，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝6或﹣（舍弃）．

当点P在CB上时，S△POQ＝＝＝12，

解得t＝18＞8（不符合题意舍弃），

综上所述，经过4 s或6 s时，△POQ的面积为12 cm2．