【题目】如图所示,已知 AD//BC, 点 E 为 CD 上一点,AE、BE 分别平分∠DAB、∠CBA,BE交 AD 的延长线于点 F.求证:(1)△ABE≌△AEF;(2) AD+BC=AB
【答案】见解析
【解析】
(1)根据角平分线的定义可得∠1=∠2,∠3=∠4,再根据两直线平行,内错角相等可得∠2=∠F,然后求出∠1=∠F,再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可;
(2)根据全等三角形对应边相等可得BE=FE,然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BC=DF,然后根据AD+BC整理即可得证.
(1)证明:如图,∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠F,∠1=∠F,
在△ABE和△AFE中,
∴△ABE≌△AFE(AAS);
(2)证明:∵△ABE≌△AFE,
∴BE=EF,
在△BCE和△FDE中,
∴△BCE≌△FDE(ASA),
∴BC=DF,
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB,
即AD+BC=AB.
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【题目】如图,点是的外角平分线上一点,且满足,过点作于点,交的延长线于点,则下列结论:①;②;③;④.
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】(1)如图1,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG,BF⊥AG,垂足分别为点E,F.求证:;
(2)在图1的基础上,若过点C作CH⊥DE,垂足为点H,连接AH,CF,如图2.求证:四边形AFCH为平行四边形.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠A的外角平分线交BC的延长线于点D.
(1)线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P,连接PB,PC.
①利用尺规作图补全图形1,不写作法,保留痕迹;
②求证:∠BPC=∠BAC;
(2)如图2,若Q是线段AD上异于A,D的任意一点,判断QB+QC与AB+AC的大小,并予以证明.
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【题目】如图,已知△ABC的周长是20,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
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【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验,他们共做了60次实验,实验的结果如下:
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据实验,一次实验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子,用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率.
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=2.点Q与点P同时从点A出发,点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动,当P,Q两点相遇时,它们同时停止运动.设Q点运动的时间为(秒),在整个运动过程中,当△APQ为直角三角形时,则相应的的值或取值范围是_________.
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【题目】正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点,连接AE并延长,交边BC于F,过M作MN⊥AF,垂足为H,交边AB于点N.
(1)如图①,若点M与点D重合,求证:AF=MN;
(2)如图②,若点M从点D出发,以1cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为ts.
①设BF=ycm,求y关于t的函数表达式;
②当BN=2AN时,连接FN,求FN的长.
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