【题目】如图1,在△ABC中,∠A的外角平分线交BC的延长线于点D.
(1)线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P,连接PB,PC.
①利用尺规作图补全图形1,不写作法,保留痕迹;
②求证:∠BPC=∠BAC;
(2)如图2,若Q是线段AD上异于A,D的任意一点,判断QB+QC与AB+AC的大小,并予以证明.
【答案】(1)①如图1所示,见解析;②证明见解析;(2)QB+QC>AB+AC.证明见解析.
【解析】
(1)①作出线段BC的垂直平分线即可;
②在AE上截取AF=AC.设PC交AB于G.由△APC≌△APF,推出∠PCA=∠PFA,PC=PF,由点P在线段BC的垂直平分线上,推出PB=PC=PF,推出∠PBF=∠PFA,推出∠PBG=∠ACG,由∠PGB=∠AGC,可得∠BPC=∠BAC;
(2)如图2中,在AE上截取AF=AC.可得△QAF≌△QAC解决问题;
(1)①解:如图1所示,
②证明:在AE上截取AF=AC.设PC交AB于G.
∵AD平分∠CAF,
∴∠DAC=∠DAF,
∴∠CAP=∠FAP,
∵AP=AP,AC=AF,
∴△APC≌△APF,
∴∠PCA=∠PFA,PC=PF,
∵点P在线段BC的垂直平分线上,
∴PB=PC=PF,
∴∠PBF=∠PFA,
∴∠PBG=∠ACG,
∵∠PGB=∠AGC,
∴∠BPC=∠BAC;
(2)如图2中,在AE上截取AF=AC.
同法可证△QAF≌△QAC,
∴QC=QF,
∵QB+QC=QB+QF>BF,BF=AB+AF=AB+AC,
∴QB+QC>AB+AC.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
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【题目】如图:已知∠B=∠BGD,∠DGF=∠F,求证:∠B+∠F=180°.
请你认真完成下面的填空.
证明:∵∠B=∠BGD ( 已知 )
∴AB∥CD ( )
∵∠DGF=∠F;( 已知 )
∴CD∥EF ( )
∴AB∥EF ( )
∴∠B+∠F=180°( ).
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【题目】小英与她的父亲,母亲计划外出旅游,初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市,由于时间仓促,他们只能去其中一个城市,到底去哪一个城市三人意见不统一,在这种情况下,小英父亲建议,用小英学过的摸球游戏来决定,规则如下:
①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康),这四个球除颜色的不同外,其余完全相同;
②小英父亲先将袋中球摇匀,让小英从袋中随机摸出一球,父亲记录下其颜色,并将这个球放回袋中摇匀;然后让小英母亲从袋中随机摸出一球,父亲记录下它的颜色;
③若两人所摸出球的颜色相同,则去该球所表示的城市旅游。否则,前面的记录作废,按规则②重新摸球,直到两人所摸出的球的颜色相同为止。
按照上面的规则,请你解答下列问题:
(1)已知小英的理想旅游城市是西安,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是多少?
(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的概率是多少?
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【题目】如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E,BE、CD相交于点O.∠1=∠2,则图中全等三角形共有( )
A. 4对B. 3对C. 2对D. 5对
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【题目】如图所示,已知 AD//BC, 点 E 为 CD 上一点,AE、BE 分别平分∠DAB、∠CBA,BE交 AD 的延长线于点 F.求证:(1)△ABE≌△AEF;(2) AD+BC=AB
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【题目】如图,直线EF∥GH,点B、A分别在直线EF、GH上,连接AB,在AB左侧作三角形ABC,其中∠ACB=90°,且∠DAB=∠BAC,直线BD平分∠FBC交直线GH于D
(1) 若点C恰在EF上,如图1,则∠DBA=_________
(2) 将A点向左移动,其它条件不变,如图2,则(1)中的结论还成立吗?若成立,证明你的结论;若不成立,说明你的理由
(3) 若将题目条件“∠ACB=90°”,改为:“∠ACB=120°”,其它条件不变,那么∠DBA=_________(直接写出结果,不必证明)
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【题目】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
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