Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）求过B、C两点的直线的函数表达式；

（3）点P是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．

【解析】

（1）将点A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；

（2）先求出点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，再将点B（4，0）代入y＝kx+4即可；

（3）先判断存在点P，求出AC，BC的长及∠OCB＝∠OBC＝45°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），用含m的代数式表示出QM，AM的长，然后分①当AC＝AQ时，②当AC＝CQ时，③当CQ＝AQ时三种情况进行讨论，列出关于m的方程，求出m的值，即可写出点P的坐标．

（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，，

解得，，

∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；

（2）在y＝﹣x2+x+4中，

当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），

设直线BC的解析式为y＝kx+4，

将点B（4，0）代入y＝kx+4，

得，k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；

（3）存在，理由如下：

∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴OA＝3，OC＝OB＝4，

∴AC＝＝5，BC＝＝4，∠OCB＝∠OBC＝45°，

设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），

∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，

①当AC＝AQ时，则AC＝AQ＝5，

（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，

解得：m1＝1，m2＝0（舍去），

当m＝1时，﹣m2+m+4＝4，

则点P坐标为（1，4）；

②当AC＝CQ时，CQ＝AC＝5，

如图，过点Q作QD⊥y轴于点D，

则QD＝CD＝OM＝m，

则有2m2＝52，

解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；

当m＝时，﹣m2+m+4＝，

则点P坐标为（，）；

③当CQ＝AQ时，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，

解得：m＝（舍去）；

故点P的坐标为（1，4）或（，）．