【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=100°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)当△AOD是等腰三角形时,求α的度数.
【答案】(1)△OCD是等边三角形,理由见解析;(2)当α为130°、100°、160°时,△AOD是等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数,由此即可判定△AOD的形状;
(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
解:(1)∵△OCD是等边三角形,
∴OC=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∵∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
在△BOC与△ADC中,
,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
∵∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°﹣60°=90°,
∴△ADO是直角三角形;
(2)∵∠COB=∠CAD=α,∠AOD=200°﹣α,∠ADO=α﹣60°,∠OAD=40°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴200°﹣α=α﹣60°,
∴α=130°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α﹣60°=40°,
∴α=100°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴200°﹣α=40°,
∴α=160°.
所以当α为130°、100°、160°时,△AOD是等腰三角形.
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【题目】设抛物线的解析式为 ,过点B1 (1,0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2 );过点B2 (1,0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A2 ,… ;过点 (,0 ) (n为正整数 )作x轴的垂线,交抛物线于点 ,连接 ,得直角三角形.
(1)求a的值;
(2)直接写出线段 ,的长(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△ 中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△是等腰直角三角形?
②设1≤k<m≤n (k,m均为正整数),问是否存在Rt△与Rt△相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由.
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【题目】单位举行歌咏比赛,分两场举行,第一场8名参赛选手的平均成绩为88分,第二场4名参赛选手的平均成绩为94分,那么这12名选手的平均成绩是____分.
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【题目】2017年中秋小长假长沙县的旅游收入约为1900万,将1900万用科学记数法表示应为( )
A. 19×104 B. 1.9×104 C. 1.9×107 D. 0.19×108
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【题目】如图,△ABC中,∠A=100°,BI、CI分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BIC=________,若BM、CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角平分线,则∠M=__________.
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【题目】在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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