Question

【题目】如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：

（1）四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；

（2）若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长；

（3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM的度数，并说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形PQMN是△ABC的内接正方形，证明详见解析；（2）12﹣18；（3）∠QEM＝90°，理由详见解析

【解析】

（1）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理列比例式可得结论；

（3）证明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题．

解：（1）四边形是的内接正方形，理由是：

如图2中，由画图可知，

四边形是矩形，，

△，

同理可得：，

，

，

四边形是正方形，即四边形是的内接正方形；

（2）如图1，过作于，交于，设正方形的边长为，

为等边三角形，边长，

高线，

四边形是正方形，

，

，

即，解得：，

答：内接正方形的边长是；

（3）如图3中，结论：．

理由：设，，则，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．