Question

【题目】已知抛物线经过点，直线是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）在直线上确定一点，使的周长最小，求出点的坐标；

（3）若点是抛物线上一动点，当时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）；（3），，，．

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；

（2）由A、B关于抛物线对称可知，连接BC交对称轴于点P，求P即为所求，求出直线BC的解析式，代入x=1即可得到;

(3)由，即可知OC=3OD，即可求解.

解：（1）抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
即-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；

（2）∵点A与点B关于直线l对称，

∴PA＝PB，

∴PC+PA＝PB+PC，当P、B、C共线时PB+PC最小，PC+PA最小

∴此时△PAC的周长最小，

由y＝﹣x2+2x+3可得C（0，3）

设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，

把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，

∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，

∴点P的坐标为（1，2）．

（3）∵，

即OC=3OD，

当x=0时，y=3，C（0，3）

∴D为（x,±1）

当y=1时，x=1±，

当y=-1时，x=1±

∴C的坐标为，，，．