Question

【题目】阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上．，，，．求的长．

小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

发现：的度数为 ，的长为

探究：参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求，的长．

Answer 1

【答案】发现：∠ACE的度数为75°，AC的长为3；探究：，

【解析】

发现：根据平行线的性质得到∠E=∠BAD=75°，根据三角形内角和定理即可得出，证明△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质得出AC的长；

探究：过点D作DF⊥AC于点F，证明△ABE∽△FDE，根据相似三角形的性质求出EF、AF，根据正切的概念求出DF，根据勾股定理计算即可．

发现：∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，
∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，

∵∠E=75°，∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，BD=2DC，
∴△ABD∽△DCE，

∴

∴AD=2DE，
∴DE=1，∴AE=3，
∴AC=3；∴AD=2DE，
∵AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3；

故答案为：75，3

探究：过点D作DF⊥AC于F，如图

∵ ∠BAC=90°，

∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE．

∴

∴EF=1 , AB=2DF．

∴AF=3

在Rt△ACD中，∠CAD=30°

设DF=x,则AD=2x，

由勾股定理得，解得，∴

∵ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°,

∴ ∠ACD=75°，∴ AC=AD

∵AD=2DF ，AB=2DF

∴AD=AB

∴AB=AC