【题目】已知二次函数.
(1)该二次函数的顶点坐标为__________;
(2)该函数的图象与轴的交点坐标为__________;
(3)用五点法画函数图象
… | … | ||||||
… | … |
(4)当时,则的取值范围是__________;
(5)将该抛物线绕顶点旋转180°,所得函数的解析式为__________;
(6)抛物线与轴有且仅有一个交点,则__________.
【答案】(1);(2),(3)函数图象见解析;(4);(5);(6)4.
【解析】
(1)将二次函数的解析式化成顶点式即可得;
(2)令,求解一元二次方程即可得;
(3)先列出图象上的五个点,再顺次连接即可画出函数图象;
(4)根据(3)的图象即可得;
(5)先根据旋转的性质可得顶点坐标不变,从而可得新二次函数的顶点式,再求出点绕顶点旋转所得点的坐标,然后代入求解即可得;
(6)根据二次函数的图象可知,将其向上平移4个单位长度所得的图象与轴有且仅有一个交点,由此即可得出k的值.
(1)将二次函数化成顶点式为
则该二次函数的顶点坐标为
故答案为:;
(2)令得
解得
则该函数的图象与轴的交点坐标为,
故答案为:,;
(3)根据二次函数的解析式,列出五个点(注:五个点对称列出即可,不刻意要求特殊点
),如下表所示:
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … | |
… | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | … |
利用五点法画函数图象如下:
(4)由(3)所画的函数图象可知,当时,
故答案为:;
(5)如图,点B绕点A旋转的对应点为点D
由旋转的性质得:新二次函数的顶点坐标仍为
设新二次函数的解析式为
由点可知,
由旋转的性质可知,
在和中,
将代入得,
解得
则新二次函数的解析式为
故答案为:;
(6)由函数图象的平移规律可知,抛物线是由二次函数向上或向下平移得到的
由二次函数的图象可知,将其向上平移4个单位长度所得的图象与轴有且仅有一个交点
则
故答案为:4.
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【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当,我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”.
(1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”,求此函数的解析式;
(3)若函数是闭区间上的“闭函数”,求实数a,b的值.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AD=3,DC=4,动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动,过点P作PQ∥AC交AD于Q,将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 设点P的运动时间为t(s).
(1)当点E落在边AB上时,t的值为 ;
(2)设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s,求s与t的函数关系式;
(3)如图2,以PE为直径作⊙O.当⊙O与AC边相切时,求CP的长.
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【题目】如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读下列材料:
材料一:所有正整数在进行某种规定步骤的运算后,会得到一个恒定不变的数,我们把这个恒定不变的数叫做稳定数.规定求三位数的稳定数的运算步骤是:任意三位数A=(百位与个位不相同),将这个数逆置后得A1=,A与A1中较大的数减去较小的数得到一个数B,再将B进行一次逆置得B1(若B为两位数则交换十位与个位逆置),将B1与B相加得C,C就是该三位数A的稳定数,记作.
材料二:当两个三位数的稳定数相同时,这两个三位数的百位数字与个位数字之差的绝对值或者都大于1,或者都等于1.
(1)求352的稳定数是 ;百位与个位相差2的三位数,它的稳定数是 .
(2)现有S=301+10p,T=100m+40+n(1≤p≤9,1≤m≤9,1≤n≤9,p,m,n均是整数),其中T是偶数,若,3p+m+n=20,|p-n|=1,,请求出的值.
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【题目】如图,在等腰直角中,,,点是边上一动点,连接,以点为中心,将线段顺时针旋转135°,得到线段,连接.
(1)依题意,补全图形;
(2)求证:;
(3)点在线段的延长线上,点是点关于点的对称点,写出的一个值,使得对任意的点总有,并证明.
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【题目】已知抛物线经过点,直线是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)在直线上确定一点,使的周长最小,求出点的坐标;
(3)若点是抛物线上一动点,当时,请直接写出点的坐标.
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【题目】观察如图,填表后再回答问题:
(1)在横线上填入正确的数:
的个数:8,______ ,24
★的个数:1,4,______
(2)试求第6个图形中“”的个数和“”的个数?
(3)试求第108个图形中“”的个数与“”的个数之差?
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【题目】为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).
(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;
(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.
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