Question

【题目】如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点，，．

（1）求的度数；

（2）求证：；

（3）若，求出图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接OE，证明△OBE为等边三角形，得到∠EOC＝60°，根据切线的性质得到OE⊥CD，根据直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）根据圆周角定理求出∠EAB＝30°，得到EA＝EC，根据含30°的直角三角形的性质计算，证明结论；
（3）求出∠AOE＝120°，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算．

（1）解：连接OE．

∵OB＝OE，∠ABE＝60°，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠EOC＝60°．

∵CD与⊙O相切，

∴OE⊥CD，

∴∠C＝90°﹣60°＝30°；

（2）证明：由圆周角定理得，∠EAB＝∠EOB＝30°，

∴∠EAB＝∠C，

∴EA＝EC．

∵AD⊥CD，

∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴AE＝2DE，

∴EC＝2DE；

（3）解：∵∠EOC＝60°，

∴∠AOE＝120°，

则阴影部分的面积＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积

＝××3×3×tan60°＝．