Question

如图：长方形ABCD中，AD=10，AB=4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,矩形的性质

专题：动点型

分析：分BP=PQ、BP=BQ和BQ=PQ三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，且AD=10，
∴BQ=5，
当BP=PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1，

则BM=MQ=2.5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP=BM=2.5，
当BQ=BP时，则BP=5，在Rt△ABP中，AB=4，由勾股定理可求得AP=3，
当PQ=BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2，

过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN=SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN=SN=3，
则AR=2，AS=8，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP=2或8，
综上可知AP为2或2.5或3或8，
故答案为：2或2.5或3或8．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．注意利用画圆可以找到满足条件的点．