Question

5．如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）设∠AOQ=α，若cosα=$\frac{4}{5}$，OQ=15，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°，证明△OAP≌△OBP即可；
（2）连OP并交AB于点C，先由三角函数求出OA、AQ、BQ，再证明△QAO∽△QBP，得出比例式、求出PQ、PA，由勾股定理知OP，然后由三角形相似求出AC，即可得出AB的长．

解答 （1）证明：连接OP，与AB交于点C；如图所示：在△OAPh5△OBP中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连OP并交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴OA=12，AQ=9，
∴BQ=27；
∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，即$\frac{9}{27}=\frac{15}{PQ}$，
∴PQ=45，
∴PA=36，
∴OP=$\sqrt{3{6}^{2}+1{2}^{2}}$=12$\sqrt{10}$；
∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴$\frac{PA}{OP}=\frac{AC}{OA}$，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12$\sqrt{10}$•AC，
∴AC=$\frac{18}{5}\sqrt{10}$，
∴AB=$\frac{36}{5}\sqrt{10}$．

点评 本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理；图形中的线段的求法，可以通过锐角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解．