Question

17．如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：
（1）折痕AE的长；
（2）⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图，运用矩形的性质、勾股定理首先求出DF的长，进而求出CF的长，此为解决该题的关键性结论；设BE为x，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x；再次运用勾股定理求出AE的长．
（2）如图，作辅助线；首先证明OH=HB；运用△AOH∽△AEB，列出关于半径r的方程，求出r即可解决问题．

解答 解：（1）由题意知，AF=10，AD=8，
根据勾股定理得：DF=6．
∴CF=4．设BE=x，那么EF=x，CE=8-x．
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：（8-x）²+4²=x²，
解得 x=5．即BE=5．由勾股定理得：
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．
（2）如图，连接OH、OG；
则∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，
∴四边形OHBG为正方形，
∴OH=BH；设⊙O的半径为r，
则OH=BH=r；
∵△AOH∽△AEB，
∴$\frac{OH}{EB}$=$\frac{AH}{AB}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{10-r}{10}$；解得：r=$\frac{10}{3}$．
∴⊙O的半径为$\frac{10}{3}$．

点评 该题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识点是基础，灵活运用是关键．