Question

8．如图所示，已知在矩形ABCD和矩形AECF中，CD=CE，AD与CF相交于点H，BC与AE相交于点G，连接AC、GH．
（1）求证：AC、GH互相垂直平分；
（2）如果AC=9，GH=4，那么四边形AHCG的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）先证得四边形AGCH是平行四边形，然后利用SAS证明△HDC≌△GEC，得到CH=CG，进而根据菱形的判定方法得到平行四边形AGCH是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分的性质可得结论；
（2）根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可求得菱形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，
∴AH∥GC，AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形．
∵四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，
∴∠D=∠E=90°，∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠ECG=∠DCH，
在△HDC与△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{CD=CE}\\{∠DCH=∠ECG}\end{array}\right.$，
∴△HDC≌△GEC（SAS），
∴CH=CG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AC、GH互相垂直平分；
（2）解：∵四边形AGCH是菱形，AC=9，GH=4，
∴${S}_{菱形AGCH}=\frac{1}{2}AC•GH=18$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形面积的计算等知识，通过推理得出四边形AGCH是解题的关键．