Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B左侧）两点， 一次函数y=-x+4与坐标轴分别交于点C、D，与抛物线交于点M、N，其中点M的横坐标是.

（1）求出点C、D的坐标；

（2）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标；

（3）在平面内存在动点P（P不与A，B重合），满足∠APB为直角，动点P到直线CD的距离是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值的结果；如果没有，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) C(0,4)，D(4,0)；（2）； A(-2,0),B（2,0）；（3）.

【解析】试题分析：（1）点C、D一次函数y=-x+4与坐标轴的交点坐标，求解即可；（2）根据点M在直线y=-x+4上，求得点M的坐标，再代入求得a值，即可得抛物线的解析式；（3）如图，以AB为直径作⊙O，过点O作OG⊥CD于点G，交⊙O于点P，此时点P到直线CD的距离最小.由点C、D的坐标可得△COD为等腰直角三角形，利用勾股定理求得CD=4，根据等腰直角三角形的性质可得OG=2，根据点A、B的坐标求得AB=4，即可得OP=2，所以PG=OG-OP=2-2.

试题解析：

(1)把x=0代入y=-x+4得y=4 ，

∴C(0,4) .

把y=0代入y=-x+4得x=4，

∴D(4,0) .

(2)把x=代入y=-x+4得y=，

∴M(,)，

把M(,)代入得 ，

∴a= .

∴.

当y=0时， ，

解得： ，

所以A(-2,0),B（2,0）.

（3）动点P到直线CD的距离最小值是