Question

【题目】如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中.

（1）将图1中的三角尺绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数;

（2）将图1中三角尺绕点按每秒10的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转过程中，在第 秒时，边恰好与射线平行;在第 秒时，直线恰好平分锐角.

（3）将图1中的三角尺绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 150°;(2) 9或27；6或24 ;(3)见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答；（2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；

（3）用∠BOM和∠NOC表示出∠BON，然后列出方程整理即可得解．

解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2））∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
∵∠OMN=30°，

∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角∠BOC时，
旋转角为60°或 180°+60°=240°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为6或24；
故答案为：9或27；6或24．

（3）∵∠MON=90°，∠BOC=60°，
∴∠BON=90°-∠BOM，
∠BON=60°-∠NOC，
∴90°-∠BOM=60°-∠NOC，
∴∠BOM-∠NOC=30°，
故∠BOM与∠NOC之间的数量关系为：∠BOM-∠NOC=30°．