【题目】如图,BE是⊙O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,
∠AOD=∠APC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径是4,AP=4,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明详见解析;(2)
【解析】
(1)连接OP,证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可;(2)根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积,求出相关数据代入计算.
(1)证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图.
∴∠OCD=90°,
∴∠ODC+∠COD=90°,
∵OD=OP,
∴∠ODC=∠OPC,
∵∠COD=∠APC,
∴∠OPC+∠APC=90°,
∴∠APO=90°,即AP⊥PO,
∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线.
(2)在Rt△APO中,tan∠AOP=,
∴∠AOP=60°,∴∠OPC=30°,
∴OC=2,∴PC= ,
∴PD=,
∵OD=OP,OB⊥PD,
∴∠POB=∠COD=60°,
∴∠POD=120°,
∴阴影部分面积为: .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图①,若点D是抛物线上一动点,设点D的横坐标为m(0<m<3),连接CD,BD,BC,AC,当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时,求m的值;
(3)若点N为抛物线对称轴上一点,请在图②中探究抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如右图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC边上一点,以AB为直径在正方形内作半圆
O,将△DCE沿DE翻折,点C刚好落在半圆O的点F处,则CE的长为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】作图题:(保留作图痕迹,不写做法)
(1)已知:如图,四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心O。
(2)考古学家在考古过程中发现一个圆盘,但是因为历史悠久,已经有一部分缺失,如图所示.现希望复原圆盘,需要先找到圆盘的圆心,才能继续完成后续修复工作.请利用直尺(无刻度)和圆规,在图中找出圆心O.
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【题目】如图,在半圆⊙O中,直径AB=4,点C、D是半圆上两点,且∠BOC=84°,∠BOD=36°,P为直径上一点,则PC+PD的最小值为( )
A.4B.2C.2
D.2
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【题目】图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86米,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为________米.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为24厘米,∠A=60°,点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动,点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动.
(1)求BD的长;
(2)已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒,5厘米/秒,经过12秒后,P、Q分别到达M、N两点,若按角的大小进行分类,请你确定△AMN是哪一类三角形,并说明理由;
(3)设(2)中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回,点P的速度不变,点Q的速度改变为a厘米/秒,经过3秒后,P、Q分别到达E、F两点,若△BEF与(2)中的△AMN相似,试求a的值.
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【题目】某种流感病毒,有一人患了这种流感,在每轮传染中一人将平均传给x人:
(1)第一轮后患病的人数为 ;(用含x的代数式表示)
(2)在进入第二轮传染之前,有两位患者被及时隔离并治愈,问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生,请说明理由.
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【题目】如图,已知BO是△ABC的AC边上的高,其中BO=8,AO=6,CO=4,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动,同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动,MN交OB于点P.当M运动到点A时,点M、N同时停止运动.设点M运动时间为t.
(1)线段AN的取值范围是______.
(2)当0<t<2时,
①求证:MN:NP为定值.
②若△BNP与△MNA相似,求CM的长.
(3)当2<t<5时,若△BNP是等腰三角形,求CM的长.
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