Question

【题目】如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P.当M运动到点A时，点M、N同时停止运动.设点M运动时间为t.

(1)线段AN的取值范围是______.

(2)当0＜t＜2时，

①求证：MN：NP为定值.

②若△BNP与△MNA相似，求CM的长.

(3)当2＜t＜5时，若△BNP是等腰三角形，求CM的长.

Answer 1

【答案】(1)0<AN<25；(2)①证明见解析；定值为；②CM=；(3)CM=.

【解析】

（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．
（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，用含k的代数式表示MH、OH即可解决问题；②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MHN∽△MNA∽△BOA，列出比例式即可解决问题．
（3）过点N作NH⊥AC于点H， 设AN=5k，CM=2k，如图2中，当2＜t＜5时，点M在OA上，由PO∥HN，得 ，求出PO=k，根据BP=BN，列出方程即可解决问题．

（1）∵AC=OC+AO=10，
点M运动的速度为2单位长度/秒，
∴t==5，

∵5×5=25，
∴0＜AN＜25．
故答案为0＜AN＜25；
（2）如图1中，当0＜t＜2时，
①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，

∵NH∥BO，
∴，
∴AH=3k，

∴OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴；
②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
△MHN∽△MNA∽△BOA，
∴，
∴ ，
∴k= ，
∴CM=；
（3）如图2中，当2＜t＜5时，

过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，则BN=5k-10，

同（2）可得AH=3k，NH=4k，OH=3k-6，MO=2k-4，
∵PO∥HN，
∴，

∵MH=AH-AM=3k-(10-2k)=5k-10，
∴PO=k，
若BP=BN，则8-k=5k-10，

解得：k=，

∴CM=，
若PB=PN或BN=NP，

∵∠PBN＞90°，

∴不成立，
∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为．