精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+4A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点Cx轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m(m>4).

(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;

(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值;

(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点PPMCD,垂足为M,直线MNx轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状,并说明理由.

【答案】(1)y=x2﹣3x+4;tanACB=;(2)m=;(3)四边形ADMQ是平行四边形

【解析】

(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=x2-3x+4,作BGCA,交CA的延长线于点G,证GAB∽△OAC=,据此知BG=2AG.在RtABG中根据BG2+AG2=AB2,可求得AG=.继而可得BG=,CG=AC+AG=,根据正切函数定义可得答案;

(2)BHCD于点H,交CP于点K,连接AK,易得四边形OBHC是正方形,应用全角夹半角可得AK=OA+HK,设K(4,h),则BK=h,HK=HB-KB=4-h,AK=OA+HK=2+(4-h)=6-h.在RtABK中,由勾股定理求得h=,据此求得点K(4,).待定系数法求出直线CK的解析式为y=-x+4.设点P的坐标为(x,y)知x是方程x2-3x+4=-x+4的一个解.解之求得x的值即可得出答案;

(3)先求出点D坐标为(6,4),设P(m,m2-3m+4)知M(m,4),H(m,0).及PH=m2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.①当4<m<6时,由OAN∽△HAP=.据此得ON=m-4.再证ONQ∽△HMQ=.据此求得OQ=m-4.从而得出AQ=DM=6-m.结合AQDM可得答案.②当m>6时,同理可得.

(1)将点A(2,0)和点B(4,0)分别代入y=ax2+bx+4,得

解得:

∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+4,

过点BBGCA,交CA的延长线于点G(如图1所示),则∠G=90°.

∵∠COA=G=90°,CAO=BAG,

∴△GAB∽△OAC.

=2.

BG=2AG,

RtABG中,∵BG2+AG2=AB2

(2AG)2+AG2=22解得: AG=

BG=,CG=AC+AG=2+=

RtBCG中,tanACB═

(2)如图2,过点BBHCD于点H,交CP于点K,连接AK.易得四边形OBHC是正方形.

应用全角夹半角可得AK=OA+HK,

K(4,h),则BK=h,HK=HB﹣KB=4﹣h,AK=OA+HK=2+(4﹣h)=6﹣h,

RtABK中,由勾股定理,得AB2+BK2=AK2

22+h2=(6﹣h)2.解得h=

∴点K(4,),

设直线CK的解析式为y=hx+4,

将点K(4,)代入上式,得=4h+4.解得h=﹣

∴直线CK的解析式为y=﹣x+4,

设点P的坐标为(x,y),则x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解

将方程整理,得3x2﹣16x=0,

解得x1=,x2=0(不合题意,舍去)

x1=代入y=﹣x+4,得y=

∴点P的坐标为(),

m=

(3)四边形ADMQ是平行四边形.理由如下:

CDx轴,

yC=yD=4,

y=4代入y=x2﹣3x+4,得4=x2﹣3x+4,

解得x1=0,x2=6,

∴点D(6,4),

根据题意,得P(m, m2﹣3m+4),M(m,4),H(m,0),

PH=m2﹣3m+4,OH=m,AH=m﹣2,MH=4,

①当4<m<6时,DM=6﹣m,

如图3,

∵△OAN∽△HAP,

=

ON===m﹣4,

∵△ONQ∽△HMQ,

OQ=m﹣4,

AQ=OA﹣OQ=2﹣(m﹣4)=6﹣m,

AQ=DM=6﹣m,

又∵AQDM,

∴四边形ADMQ是平行四边形.

②当m>6时,同理可得:四边形ADMQ是平行四边形.

综上,四边形ADMQ是平行四边形.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=4.点E为BC边上一动点,连接AE,作∠AEF=∠B,EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F.当EF⊥AC时,EF的长为_______

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等.

1)甲、乙二人每小时各做零件多少个?

2)甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,将一幅三角板的直角顶点重合放置,其中∠A=30°,CDE=45°.若三角板ACB的位置保持不动,将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周.若DCE其中一边与AB平行,则∠ECB的度数为____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的OBC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点DDFAC于点F

1)试说明DFO的切线;

2)若AC=3AE,求tanC

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图 A 时测得某树(垂直于地面)的影长为 4 B 时又测得该树的影长为 16 若两次日 照的光线互相垂直则树的高度为_____米.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙两车分别从两地同时出发,沿同一公路相向而行,开往两地.已知甲车每小时比乙车每小时多走,且甲车行驶所用的时间与乙车行驶所用的时间相同.

1)求甲、乙两车的速度各是多少

2)实际上,甲车出发后,在途中因车辆故障耽搁了20分钟,但仍比乙车提前1小时到达目的地.两地间的路程是多少

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:

1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在地时距地面的高度 米;

2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式.

(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为50米?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,在锐角ABC中,ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.

(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由;

(2)如图2,将ACD沿线段AD对折,点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DEAM时,判断NE与AC的数量关系并说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案