【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m(m>4).
(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;
(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值;
(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PM⊥CD,垂足为M,直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状,并说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣3x+4;tan∠ACB=;(2)m=;(3)四边形ADMQ是平行四边形;
【解析】
(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=x2-3x+4,作BG⊥CA,交CA的延长线于点G,证△GAB∽△OAC得=,据此知BG=2AG.在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2,可求得AG=.继而可得BG=,CG=AC+AG=,根据正切函数定义可得答案;
(2)作BH⊥CD于点H,交CP于点K,连接AK,易得四边形OBHC是正方形,应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK,设K(4,h),则BK=h,HK=HB-KB=4-h,AK=OA+HK=2+(4-h)=6-h.在Rt△ABK中,由勾股定理求得h=,据此求得点K(4,).待定系数法求出直线CK的解析式为y=-x+4.设点P的坐标为(x,y)知x是方程x2-3x+4=-x+4的一个解.解之求得x的值即可得出答案;
(3)先求出点D坐标为(6,4),设P(m,m2-3m+4)知M(m,4),H(m,0).及PH=m2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.①当4<m<6时,由△OAN∽△HAP知=.据此得ON=m-4.再证△ONQ∽△HMQ得=.据此求得OQ=m-4.从而得出AQ=DM=6-m.结合AQ∥DM可得答案.②当m>6时,同理可得.
(1)将点A(2,0)和点B(4,0)分别代入y=ax2+bx+4,得,
解得:;
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+4,
过点B作BG⊥CA,交CA的延长线于点G(如图1所示),则∠G=90°.
∵∠COA=∠G=90°,∠CAO=∠BAG,
∴△GAB∽△OAC.
∴=2.
∴BG=2AG,
在Rt△ABG中,∵BG2+AG2=AB2,
∴(2AG)2+AG2=22,解得: AG=.
∴BG=,CG=AC+AG=2+=.
在Rt△BCG中,tan∠ACB═.
(2)如图2,过点B作BH⊥CD于点H,交CP于点K,连接AK.易得四边形OBHC是正方形.
应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK,
设K(4,h),则BK=h,HK=HB﹣KB=4﹣h,AK=OA+HK=2+(4﹣h)=6﹣h,
在Rt△ABK中,由勾股定理,得AB2+BK2=AK2,
∴22+h2=(6﹣h)2.解得h=,
∴点K(4,),
设直线CK的解析式为y=hx+4,
将点K(4,)代入上式,得=4h+4.解得h=﹣,
∴直线CK的解析式为y=﹣x+4,
设点P的坐标为(x,y),则x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解,
将方程整理,得3x2﹣16x=0,
解得x1=,x2=0(不合题意,舍去)
将x1=代入y=﹣x+4,得y=,
∴点P的坐标为(,),
∴m=;
(3)四边形ADMQ是平行四边形.理由如下:
∵CD∥x轴,
∴yC=yD=4,
将y=4代入y=x2﹣3x+4,得4=x2﹣3x+4,
解得x1=0,x2=6,
∴点D(6,4),
根据题意,得P(m, m2﹣3m+4),M(m,4),H(m,0),
∴PH=m2﹣3m+4,OH=m,AH=m﹣2,MH=4,
①当4<m<6时,DM=6﹣m,
如图3,
∵△OAN∽△HAP,
∴,
∴=,
∴ON===m﹣4,
∵△ONQ∽△HMQ,
∴,
∴,
∴,
∴OQ=m﹣4,
∴AQ=OA﹣OQ=2﹣(m﹣4)=6﹣m,
∴AQ=DM=6﹣m,
又∵AQ∥DM,
∴四边形ADMQ是平行四边形.
②当m>6时,同理可得:四边形ADMQ是平行四边形.
综上,四边形ADMQ是平行四边形.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=4.点E为BC边上一动点,连接AE,作∠AEF=∠B,EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F.当EF⊥AC时,EF的长为_______.
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【题目】甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等.
(1)甲、乙二人每小时各做零件多少个?
(2)甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等?
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【题目】如图,将一幅三角板的直角顶点重合放置,其中∠A=30°,∠CDE=45°.若三角板ACB的位置保持不动,将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周.若△DCE其中一边与AB平行,则∠ECB的度数为____.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,求tanC.
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【题目】如图,在 A 时测得某树(垂直于地面)的影长为 4 米,B 时又测得该树的影长为 16 米,若两次日 照的光线互相垂直,则树的高度为_____米.
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【题目】甲、乙两车分别从两地同时出发,沿同一公路相向而行,开往两地.已知甲车每小时比乙车每小时多走,且甲车行驶所用的时间与乙车行驶所用的时间相同.
(1)求甲、乙两车的速度各是多少?
(2)实际上,甲车出发后,在途中因车辆故障耽搁了20分钟,但仍比乙车提前1小时到达目的地.求两地间的路程是多少?
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【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在地时距地面的高度为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为50米?
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【题目】如图1,在锐角△ABC中,∠ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.
(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由;
(2)如图2,将△ACD沿线段AD对折,点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DE∥AM时,判断NE与AC的数量关系并说明理由.
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