Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=5，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，连接CD．

（1）求证AD=2AP；

（2）如图①，若BA与CD的延长线交于点M，AP＝1，求AM的长；

（3）如图②，若AB与DC的延长线交于点N，当△CDP与△BCN相似时，求证点P是AC的中点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AM=；（3）点P是AC的中点.

【解析】

(1)证明△DAP∽△ACB，得，即可得解；

（2）证明△MAD∽△MBC，得，即可得解；

（3）证明△NBC∽△NAD，得，故；由△CPD∽△CBN，得，，求解即可.

（1）证明：∵AD∥BC

∴∠DAP=∠ACB

又∵∠APD=∠ABC

∴△DAP∽△ACB

∴

∴

∴AD=2AP

（2）∵AP=1，∴AD=2AP=2

∵AD∥BC

∴△MAD∽△MBC

∴

∴

∴AM=

（3）∵∠APD=∠ABC

∴∠CPD=∠CBN

又∵∠ACP＞∠N

∴当△CDP与△BCN相似时，只能是△CPD∽△CBN

设AP=x，BN=y，则AD=PD=2x，CP=10－x

∵△CPD∽△CBN，∴，∴

∵AD∥BC，∴△NBC∽△NAD，∴，∴

解出x=5，∴点P是AC的中点.