Question

13．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．
（1）出发后2分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；
（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是（6，13）．

Answer 1

分析 （1）由于两人不是在同一顶点出发，所以两人第一次在同一顶点相遇，需要通过的距离之和等于周长的整数倍再加一条边的长度，即85t=40n+10，其中n是第一次在同一顶点相遇之前通过的周长的个数；
（2）设甲走x米，则乙走$\frac{30}{55}$x=$\frac{6}{11}$x米，由于相遇在正方形顶点，所以x和$\frac{6}{11}$x都要为10的整数倍且x+$\frac{6}{11}$x-10=$\frac{17}{11}$x-10，为40的整数倍，根据（a-$\frac{10}{85}$）×85=40（b-1）+20，即可求解．

解答 解：（1）∵两个人的速度之和是85米每分钟，$\frac{10}{85}$分钟后两人第一次相遇．如果要两人在顶点相遇，
则：每个人所走的路程均为10的整数倍，且两个人所走路程之和为10+40n（n是指边的条数）．
S=10+40n，n为0、1、2、3…n    ①
S_甲=55t，可以被10整除，t为2、4、6…②
S_乙=30t，也可以被10整除，t为甲方取值即可，
∵S=S_甲+S_乙，
整理得：55t+30t=10+40n，即：85t=10+40n，
∴n=$\frac{85t-10}{40}$③，
由①②③得：当t=2时，两人第一次在顶点相遇．
此时甲走了110米，乙走了60米，相遇在点D．

（2）甲、乙相遇则两者走的时间相同，
设甲走x米，则乙走$\frac{30}{55}$x=$\frac{6}{11}$x米，
∵要相遇在正方形顶点，
∴x和$\frac{6}{11}$x都要为10的整数倍且x+$\frac{6}{11}$x-10=$\frac{17}{11}$x-10，为40的整数倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米），
∴（a-$\frac{10}{85}$）×85=40（b-1）+20，
由上式可知：当a=6时，甲走了330米，甲走到点B，
乙走了180米，乙走到点D，
解得：b=13，
故答案为：2，（6，13）．

点评 本题考查了一元一次方程在行程问题中的应用，解题的难点在于，如果用经典的数学演绎推理，容易将此题化归为“不定方程”这一学生没有系统学习过的数学模型．所以，没有用合情推理研究本题，是解答此题的一个解题策略层面的方向性错误．学生是否有合理运用“合情推理”的意识，是否知道在怎样的情况下要用合情推理，在怎样的情况下不宜用合情推理，这是学生能否正确选择这道题的解题策略方向的关键所在．