Question

4．如图，直线AB：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$交坐标轴于A、B两点，直线AC与AB关于y轴对称，交x轴于点C．点P、Q分别是线段BC、AC上两个动点，且∠APQ始终等于30°．
（1）点B的坐标是（8，0）；∠ABC=30度；
（2）若⊙O与AB相切，则⊙O的半径等于4；
（3）当P点坐标为（-2，0）时，求CQ的长；
（4）当△APQ为等腰三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由B点是直线AB与x轴的交点，故令y=0，解出x的值即为B点的坐标，A点是直线AB与y轴的交点，令x=0，可得出A点坐标，由三角函数的正弦值可得出∠ABC的值；（2）圆与直线相切，圆的半径就等于圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得出结论；（3）由两个等于30°的角和一个公共角可得出△CAP∽△PAQ，根据相似三角形的性质可找出AQ的值，再由CQ=AC-AQ，即可得出结论；（4）若三角形为等腰三角形，只需两条边相等即可，在此分哪两条边相等来讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）令y=0，则有0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=8．
即点B的坐标是（8，0）．
令x=0，则有y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即点A的坐标为（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．
∴AO=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，BO=8，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．
故答案为：（8，0）；30．
（2）∵⊙O与AB相切，
∴⊙O的半径为点O到直线AB的距离．
直线AB：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$可变形为$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+y-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=0．
点O到直线AB的距离=$\frac{|0+0-\frac{8\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4．
∴⊙O的半径为4．
故答案为：4．
（3）∵直线AC与AB关于y轴对称，
∴点C坐标为（-8，0），∠ACB=∠ABC=30°．
又∵点A的坐标为（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），点P的坐标为（-2，0），
∴AO=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CO=8，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，PO=2，CP=CO-PO=6，AP=$\sqrt{A{O}^{2}+P{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{57}}{3}$．
∵∠CAP=∠PAQ，∠ACP=∠APQ=30°，
∴△CAP∽△PAQ，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AP}{AC}$，AQ=$\frac{A{P}^{2}}{AC}$=$\frac{19\sqrt{3}}{12}$．
CQ=AC-AQ=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
故当P点坐标为（-2，0）时，CQ的长为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
（4）△APQ为等腰三角形分三种情况：
①当AQ=PQ时，如图1，

∵∠APQ=30°，AQ=PQ，
∴∠PAQ=30°，
∵∠ACO=30°，∠CAO=90°-∠ACO=60°，
∴∠PAO=∠CAO-∠PAQ=30°．
∵AO⊥BC，
∴PO=AO•tan∠PAO=$\frac{8}{3}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{8}{3}$，0）．
②当AP=AQ时，如图2，

此时P点与B点重合，Q点与C点重合，
∴点P的坐标为（8，0）．
③当AP=PQ时，如图3，

∵∠APQ=30°，∠PAQ=∠PQA=$\frac{（180°-30°）}{2}$=75°，
∴∠CPA=180°-∠ACP-CAP=180°-30°-75°=75°，
∴∠CAP=∠CPA=75°，
∴CP=CA=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
OP=CP-CO=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8．
∴点P的坐标为（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，0）．
综上可知：当△APQ为等腰三角形时，P点的坐标为（8，0）或（-$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，0）．

点评 本题以一次函数的综合应用为背景考查了一次函数图象与坐标轴的交点、相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定，解题的关键是：（1）会求直线与坐标轴的交点问题以及知道特殊角的三角函数值；（2）明白圆与直线相切，半径等于圆心到直线的距离；（3）能发现相似三角形，会用相似三角形的判定及性质解决问题；（4）知道等腰三角形的性质．本题属于中等难度题，易出现错误的地方在（4）中，会落下当AP=AQ时这种情况．