Question

15．如图，点O是等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，已知∠AOB=110°．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当α=180°时，试判断△DOA的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△DOA是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判断△AOD为直角三角形；
（3）根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．

解答 （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，CO=CD，
∴△OCD是等边三角形；

（2）解：△AOD为直角三角形．
理由：∵△COD是等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．