Question

16．如图（1），抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（0，3）两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC是否为直角三角形，并给出理由；
（3）在x轴的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标，并求出此时四边形ABDC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先计算出AB=4，AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，然后根据勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；
（3）如图2，连接OD，根据二次函数图象上点的坐标特征，设D（t，t²-2t-3），利用四边形ABDC的面积=S_△AOC+S_△COD+S_△OBD可得四边形ABDC的面积=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，配方得到-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，然后根据二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：如图1，
∵AB=3-（-1）=4，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BC²≠AC²+AB²，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图2，连接OD，
设D（t，t²-2t-3），
四边形ABDC的面积=S_△AOC+S_△COD+S_△OBD
=$\frac{1}{2}$•3•1+$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•3•（-t²+2t+3），
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6
=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，四边形ABDC的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$．
此时D点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用面积的和差计算不规则图形的面积；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．