Question

17．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M的圆心坐标是（4，2），将直线y=-2x+1向上平移k个单位后恰好与⊙M相切，则k的值是（　　）

• A． 1+$\sqrt{5}$或1+2$\sqrt{5}$
• B． 1+2$\sqrt{5}$或1+4$\sqrt{5}$
• C． 9+2$\sqrt{5}$或9-2$\sqrt{5}$
• D． 10+2$\sqrt{5}$或10-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据题意可知平移后的直线方程为y=-2x+1+k，设切点为P（m，n），由PM⊥直线y=-2x+1，可得直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，列出方程组求出k即可解决问题．

解答 解：如图，

∵直线y=-2x+1向上平移k个单位后恰好与⊙M相切，
∴平移后的直线方程为y=-2x+1+k，设切点为P（m，n），
∵PM⊥直线y=-2x+1，
∴直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{m=-2n+1+k}\\{m=\frac{1}{2}n}\\{（m-4）^{2}+（n-2）^{2}=4}\end{array}\right.$
解得k=9+2$\sqrt{5}$或k=9-2$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆相切的条件是解答此题的关键．