Question

5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=$4\sqrt{2}$，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2$\sqrt{5}$，从而得到CE的最小值为2$\sqrt{5}$-2．

解答 解：连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=$4\sqrt{2}$，
∴AB=AC=4，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CE=OC-OE=2$\sqrt{5}$-2，
即线段CE长度的最小值为2$\sqrt{5}$-2．
故答案为2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．