Question

3．如图，直线y=2x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A点，B（2，0），连AB交双曲线于D点，且AD=BD，则k=$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 过A作AQ⊥y轴于Q，AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，根据已知得出BN=NM，DN=$\frac{1}{2}$AM，设A（m，n），D（a，b），根据反比例函数系数k的几何意义得出2m=a，从而证得OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{2}{3}$，求得A的横坐标，代入一次函数解析式得出A的坐标，即可求得k的值．

解答 解：过A作AQ⊥y轴于Q，AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
则AM∥DN，
∵AD=BD，
∴BN=NM，DN=$\frac{1}{2}$AM，
∵B（2，0），
设A（m，n），D（a，b）
∵A、D都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴mn=ab，
∵D的纵坐标为b=$\frac{1}{2}$n，
∴2m=a，
即OM=MN，
∴OM=MN=BN，
∴OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{2}{3}$，
把x=$\frac{2}{3}$代入y=2x，得y=$\frac{4}{3}$，
∴k=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$．
故答案为：$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生的分析能力，题目综合性比较强，有一定的难度．