Question

【题目】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E，求证：PE=BO

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB＝∠DEP＝90，再由条件PB＝PD可得∠PBD＝∠PDB，再证出∠PBO＝∠DPE，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE＝PD．

∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，

∴BO⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠POB＝∠DEP＝90，

∵PB＝PD，

∴∠PBD＝∠PDB，

∴∠PBO＋∠OBC＝∠CPD＋∠C

＝∠PBO＋45＝∠CPD＋45＝∠PDB＝∠PBD，

∴∠PBO＋45＝∠CPD＋45，

∴∠PBO＝∠DPE，

∴△POB≌△DEP（AAS），

∴PE＝BO．