Question

以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．求证：EB=EC=ED．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连接OD，根据切线的性质，由DE是⊙O的切线得到∠ODE=90°，再利用“HL”证明Rt△ODE≌Rt△OBE，得到ED=EB，∠1=∠2，由三角形外角性质得∠BOD=∠A+∠3，加上∠A=∠3，则∠2=∠4，于是可判断OE∥AC，利用点O为AB的中点，得到OE为△ABC的中位线，所以CE=EB，于是有EB=EC=ED．

解答：证明：连接OD，如图，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，

OD=OB OE=OE

，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL），
∴ED=EB，∠1=∠2，
∵∠BOD=∠A+∠3，
而OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠2=∠4，
∴OE∥AC，
而点O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴CE=EB，
∴EB=EC=ED．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．