Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，Q是直径AC上的一个动点，连接DQ并延长交⊙O于P．若QP=QO，则

QA

QC

的值为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：分两种情况①设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r-m．②设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，
QC=m，QA=r+m，分别利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

解答：解：①如图1，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r-m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）（r+m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即（

r2-m2

m

）²=r²+m²，
解得m=

3

3

r．
所以

QA

QC

=

r-m

r+m

=

3 -1

3 +1

=2-

3

．
②如图2，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=m，QA=r+m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r+m）（r-m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即（

r2-m2

m

）²=r²+m²，
解得m=

3

3

r．
所以

QA

QC

=

r+m

r-m

=

3 -1

3 +1

3 +1

3 -1

=2+

3

．
故答案为：2-

3

，或2-

3

．

点评：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．