连接AP,由B和C的坐标,得出OB及OC的值,根据OC-OB=BC求出BC的长,即为圆A的直径,可得出圆A的半径,进而由OA=OB+AB可得出OA的长,设P的坐标为(0,y),表示出OP=|y|,在直角三角形OAP中,根据勾股定理表示出AP
2,由DP为圆A的切线,根据切线的性质得到AD与DP垂直,可得三角形APD为直角三角形,由AD及表示出的AP
2,利用勾股定理表示出PD的长,根据完全平方式最小值为0,可得出当y=0时,PD达到最小值,即可求出此时PD的长.
解:连接AP,如图所示:
∵B(2,0)、C(4,0),
∴OB=2,OC=4,
∴BC=OC-OB=4-2=2,即圆A的直径为2,
∴AD=1,OA=OB+AB=2+1=3,
又∵DP为圆A的切线,
∴AD⊥DP,
∴∠ADP=90°,
设P(0,y),
在Rt△AOP中,OA=3,OP=|y|,
根据勾股定理得:AP
2=OA
2+OP
2=9+y
2,
在Rt△APD中,AD=1,
根据勾股定理得:PD
2=AP
2-AD
2=9+y
2-1=y
2+8,
则PD=
,
则当y=0时,PD达到最小值,最小值为
=2
.
故答案为:2
此题考查了切线的性质,勾股定理,以及点的坐标,利用了转化的思想,解题的关键是连接出辅助线AP,构造直角三角形,利用勾股定理及切线的性质