Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．

（1）尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．

（2）求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）PP′＝6，∠APB＝150°．

【解析】

（1）作等边三角形APP′，连接P′B，则△P′AB是所求作的三角形；

（2）根据旋转的性质得到∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，利用等边三角形的判定方法得到△PAP′为等边三角形，再根据等边三角形的性质有PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，由于PP′2+PB2＝P′B2，根据勾股定理的逆定理得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，则∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．

解：（1）将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB如图：

（2）如图，∵△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，

∴∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，

∴△PAP′为等边三角形，

∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，

在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，

∵62+82＝102，

∴PP′2+PB2＝P′B2，

∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，

∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．