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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点OAB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交ACAB于点E. F

(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)BD=2BF=2,求⊙O的半径.

【答案】(1)相切,理由见解析;(2)2.

【解析】

(1)求出OD//AC,得到ODBC,根据切线的判定得出即可;

(2)根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.

(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切,

理由是:连接OD,

OA=OD

∴∠OAD=ODA

AD平分∠CAB

∴∠OAD=CAD

∴∠ODA=CAD

ODAC

∵∠C=90°

∴∠ODB=90°,即ODBC

OD为半径,

∴直线BC与⊙O的位置关系是相切;

(2)设⊙O的半径为R

OD=OF=R

RtBDO,由勾股定理得:OB=BD+OD

(R+2) =(2)+R

解得:R=2

即⊙O的半径是2.

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