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【题目】已知二次函数yx22(m1)x2m1m为常数),函数图像的顶点为C

1)若该函数的图像恰好经过坐标原点,求点C的坐标;

2)该函数的图像与x轴分别交于点AB,若以ABC为顶点的三角形是直角三角形,求m的值.

【答案】1,(2m的值为1或-1

【解析】

1)把(00)代入yx22(m1)x2m1可求出m的值,可得二次函数解析式,配方即可得出C点坐标;(2)令y=0,可用m表示出x1x2,即可表示出AB的距离,根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标,根据以ABC为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程,解方程求出m的值即可.

1)解:∵yx22(m1)x2m1的图像经过点(00

2m10

m=-

m=-时,yx2x(x)2

∴顶点C的坐标(,-).

2)解:当y0x22(m1)x2m10

x12m1x21

AB

yx22(m1)x2m1(xm1)2m2

∴顶点C的坐标(m1,-m2)

∵以ABC为顶点的三角形是直角三角形,

2m2

2m22m时,m10m21

2m2=-2m时,m10m2=-1

m0时,AB0(舍)

答:m的值为1或-1.

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所以EF=FG=GH=HE=,设EB=x,则BF=﹣x,

∵Rt△AEB≌Rt△BFC

∴BF=AE=﹣x

在Rt△AEB中,由勾股定理,得

x2+(﹣x)2=12

解得,x1=x2=

∴BE=BF,即点B是EF的中点.

同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.

所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍

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