【题目】如图,O是菱形ABCD对角线BD上的一点,且OC=OD,连接OA.
(1)求证:∠AOC=2∠ABC;
(2)求证:CD2=OD·BD.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)连接AC,根据菱形的性质可知BD垂直平分AC,∠ADC=∠ABC,由中垂线的性质可得OA=OC,进而可得AO=OD,根据等腰三角形的性质可得∠BOC=2∠ODC,∠AOB=2∠ADO,进而根据菱形对角相等的性质即可得答案;(2)由菱形性质可得∠BDC=∠CBD,由(1)得∠ODC=∠OCD,可得∠OCD=∠CBD,由∠ODC是公共角,可证明△CDO∽△BDC,根据相似三角形的性质即可得答案.
(1)连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD垂直平分AC,∠ADC=∠ABC.
∵O是BD上一点,
∴OA=OC.
∵OC=OD,
∴AO=OD,∠ODC=∠OCD.
∴∠BOC=∠ODC+∠OCD=2∠ODC.
同理:∠AOB=2∠ADO,
∴∠AOC=2(∠ADO+∠ODC)=2∠ADC.
又∵∠ADC=∠ABC,
∴∠AOC=2∠ABC.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD.
∴∠BDC=∠CBD.
由(1)得∠ODC=∠OCD,
∴∠OCD=∠CBD.
在△CDO和△BDC中
∵∠ODC=∠CDB,∠OCD=∠CBD
∴△CDO∽△BDC.
∴=,
即CD2=OD·BD.
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【题目】如图,有长为 24m 的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 AB 为 xm,面积为 Sm2.
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围;
(2) 要围成面积为 45m2 的花圃,AB 的长是多少米?
(3) 当 AB 的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
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【题目】问题情填,
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD、并且量得AB=2cm,AC=4cm.
操作发现:
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到加图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是_________;
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC′,取CC'的中点F,连精AF并延长到点G,使FG=AF,连接CG,C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′C与BC′相交于点H.如图4所示,连接CC',试求CH的长度.
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【题目】为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度,增强同学们的环保意识,某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷,并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分布情况,将测试成绩分成A、B、C、D四组,绘制了如下统计图表:
组别 | 分数/分 |
A | 60<x≤70 |
B | 70<x≤80 |
C | 80<x≤90 |
D | 90<x≤100 |
请结合以上信息解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本总量是多少?
(2)样本中,测试成绩在B组的频数是多少,在D组的频率是多少?
(3)样本中,这次测试成绩的中位数落在哪一组?
(4)如果该校共有800名学生,请估计成绩在90<x≤100的学生约有多少人?
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【题目】二次函数y1=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的图象如图所示,若y1+y2=2,则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是:( )
A.函数y2的图象开口向上
B.函数y2的图象与x轴没有公共点
C.当x>2时,y2随x的增大而减小
D.当x=1时,函数y2的值小于0
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【题目】已知二次函数y=x2-2(m+1)x+2m+1(m为常数),函数图像的顶点为C.
(1)若该函数的图像恰好经过坐标原点,求点C的坐标;
(2)该函数的图像与x轴分别交于点A、B,若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形,求m的值.
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【题目】我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种),并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 | 学生数(名) | 百分比 |
丢沙包 | 20 | 10% |
打篮球 | 60 | p% |
跳大绳 | n | 40% |
踢毽球 | 40 | 20% |
根据图表中提供的信息,解答下列问题
(1)m= ,n= ,p= .
(2)请根据以上信息直接补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图.
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【题目】A、B两地相距150km,甲、乙两人先后从A地出发向B地行驶,甲骑摩托车匀速行驶,乙开汽车且途中速度只改变一次,如图表示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间t的函数图象(点F的实际意义是乙开汽车到达B地),请根据图象解答下列问题:
(1)求出甲的速度;
(2)求出乙前后两次的速度,并求出点E的坐标;
(3)当甲、乙两人相距10km时,求t的值.
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【题目】中华文明,源远流长,中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校九年级组织600名学生参加了一次“汉字听写”大赛赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本,成绩如下:
90,92,81,82,78,95,86,88,72,66,62,68,89,86,93,97,100,73,76,80,77,81,86,89,82,85,71,68,74,98,90,97,100,84,87,73,65,92,96,60.
对上述成绩进行了整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩分 | 频数 | 频率 |
6 | ||
8 | ||
a | b | |
c | d |
请根据所给信息,解答下列问题:
______,______,______,______;
请补全频数分布直方图;
若成绩在90分以上包括90分的为“优”等,请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有多少人?
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