Question

【题目】如图(1)所示，等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于点C1交AB的延长线于点B1．

(1)请你探究：＝，＝是否都成立？

(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．

(3)如图(2)所示Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．

Answer 1

【答案】(1)两个等式都成立．理由见解析； (2)结论仍然成立，理由见解析；(3) ＝．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得；

（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE=AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；

（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到，又，则有，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有.

解：(1)两个等式都成立．理由如下：

∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，

∴AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，

∴DB＝CD，

∴＝，

∵∠C1AB1＝60°，

∴∠B1＝30°，

∴AB1＝2AC1，

又∠DAB1＝30°，

∴DA＝DB1，

而DA＝2DC1，

∴DB1＝2DC1，

∴＝；

(2)结论仍然成立，理由如下：

如图所示，

△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，

∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，

∴BE＝AB，

∵BE∥AC，

∴△EBD∽△ACD，

∴＝，

而BE＝AB，

∴＝．

(3)如图，连接DE，

∵AD为△ABC的内角角平分线，

∴＝＝＝，＝＝，

又＝＝，

∴＝，

∴DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴＝＝．