Question

【题目】如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）当折痕的点与点重合时（如图2），求菱形的边长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）边长为.

【解析】

（1）根据一组对边平行且相等可证得：四边形BFEP为平行四边形，再加上PB=PE可得结论；

（2）先由折叠得：EC=BC=AD=5，利用勾股定理得：ED=4，设PE=x，则PB=x，AP=3-x，Rt△APE中，由勾股定理得：，解出即可；

（1）证明：有题意可知：

∵点与点关于对称,

，

∵

∴

∴∠BPF=

∴

∴

∴四边形BFED是平行四边形，

∵

∴四边形为菱形；

（2）如图，当点与点重合时，

由折叠可知：EC=BC=AD=5，

∵在直角△CDE中，CD=AB=3，

∴，

∴AE=1，

设PE=x，则PB=x，AP=3-x，

Rt△APE中，由勾股定理得：，

解得：，

即菱形的边长PB=.