Question

【题目】如图1，在中，，点D、E分别在边上，连接DE，且.

（1）问题发现：若，则______________________.

（2）拓展探究：若，将饶点C按逆时针旋转度，图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中的大小有无变化？如果不变，请求出的值，如果变化，请说明理由；

（3）问题解决：若，将旋转到如图3所示的位置时，则的值为______________.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）有变化，理由见解析；（3）2cosβ

【解析】

（1）过E作EF⊥AB于F，根据等腰三角形性质得出∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，以此得出四边形EFBD为矩形，得到EF=BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得出结论即可；

（2）根据等腰三角形性质得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，之后进一步根据相似三角形的性质解答即可；

（3）根据等腰三角形性质得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，再根据相似三角形性质得出,即，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD，求得△ACE∽△BCD，证明出，过点B作BE⊥AC于F，则AC=2CF，根据相似三角形性质进一步得出结论即可.

如图1，过E作EF⊥AB于F，

∵BA=BC，DE=DC，∠ACB=∠ECD=45°，

∴∠A=∠C=∠DEC=45°，

∴∠B=∠EDC=90°，

∴四边形EFBD是矩形，

∴EF=BD，EF∥BC，

∴∠AEF=∠C=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）

大小有变化，理由如下：

由题意得：△ABC与△EDC是等腰三角形，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如图2，过点B作BF⊥AC于F点，则AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BC×cos30°=，

∴AC=，

∴;

（3）

由题意得：△ABC与△EDC是等腰三角形，且∠ACD=∠ECD=β，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于F点，则AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BCcosβ，

∴AC=2BCcosβ，

∴2cosβ.