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【题目】如图,在矩形中,,问:能否在边上找一点,使点与的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的点有几个?若不能找到,请说明理由.

【答案】,方程无解,点不存在;,当时,,方程有等根,满足条件的点有且只有一个;,则当时,,方程有两个不相等的正根,满足条件的点有两个.

【解析】

假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE=x,则,即于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题.

假设在边上存在点,使

又设,则,即,即得

,所以有

,方程无解,点不存在;

,当时,,方程有等根,满足条件的点有且只有一个;

,则当时,,方程有两个不相等的正根,满足条件的点有两个.

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