【题目】如图,在△ABC中,AB=30cm,BC=35cm,∠B=60°,有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动,动点F自B向C以4cm/s的速度运动,若E、F同时分别从A、B出发.
(1)试问出发几秒后,△BEF为等边三角形?
(2)填空:出发 秒后,△BEF为直角三角形?
【答案】(1)出发5秒后,△BEF为等边三角形;(2)3或7.5
【解析】
(1)设时间为x,表示出AE=2x、BF=4x、BE=30﹣2x,根据等边三角形的判定列出方程,解之可得;
(2)分两种情况:①∠BEF=90°时,即可知∠BFE=30°,依据BE=BF列方程求解可得;②∠BFE=90°时,知∠BEF=30°,依据BF=BE列方程求解可得.
解:(1)出发x秒后,△BEF为等边三角形,则AE=2x、BF=4x、BE=30﹣2x,
∵∠B=60°,
∴当BE=BF时,△BEF为等边三角形,
∴30﹣2x=4x,
解得x=5,
即出发5秒后,△BEF为等边三角形;
(2)设经过x秒,△BEF是直角三角形,
①当∠BEF=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BFE=30°,
∴BE=BF,即30﹣2x=×4x,
解得:x=7.5;
②当∠BFE=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BEF=30°,
∴BF=BE,即4x=×(30﹣2x),
解得:x=3,
综上所述,经过3秒或7.5秒,△BEF是直角三角形.
故答案为:3或7.5.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ ACE≌BCE;上述结论一定正确的是
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①③④
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【题目】阅读下面的材料,解决问题.
例题:若m2 +2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解:∵ m2+2mn+2n2- 6n+9=0,
∴m2 +2mn+n2+n2-6n+9=0,
∴(m+n)2 +(n-3)2=0,
∴m+n=0, n-3=0,
∴m=-3, n=3.
问题: (1)若2x2 +4x-2xy+y2 +4=0,求xy的值;
(2)已知a, b, c是△ABC的三边长,且满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围.
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【题目】如图,在矩形中,,,问:能否在边上找一点,使点与、的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的点有几个?若不能找到,请说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④<a<⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是( )
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′处,那么CD=_____.
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【题目】若△ABC的三边分别为a,b,c,其中a,b满足+(b﹣8)2=0.
(1)求边长c的取值范围,
(2)若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积.
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【题目】如图①是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!
如图②是(a+b)n的三个展开式.结合上述两图之间的规律解题:
(1)请直接写出(a+b)4的展开式:(a+b)4= .
(2)请结合图②中的展开式计算下面的式:(x+2)3= .
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【题目】如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为_____.
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