Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，且．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)动点在线段下方的抛物线上．

①连接、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点．过点作，垂足为．设点的横坐标为，线段的长为，用含的代数式表示；

②过点作，垂足为，连接．是否存在点，使得中的一个角恰好等于的2倍?如果存在，求出点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，1或

【解析】

（1）根据题意可求点A（-1，0），点B（m，0），根据OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直线BC解析式，即可得F点坐标，利用可得用含t的代数式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC两种情况讨论，利用锐角三角函数，相似三角形的性质可求点D的横坐标．

解：（1）令y=0，则，

∴ ，

∴（x-m）（x+1）=0

∴

∵m＞0，点A在点B的左侧

∴点A（-1，0），点B（m，0）

∴OA=1，OB=m ，

∵OB=3OA ，∴m=3

∴抛物线

（2）①如图1：连接AF

∵抛物线与y轴交与点C

∴点C（0，-2）

∵点A（-1，0），点B（3，0），点C（0，-2）

∴AB=4，OC=2，AC=

∵设直线BC解析式y=kx+b

∴

解得

∴直线BC解析式

∵D点横坐标为t，DF⊥AB

∴点F的横坐标为t ∴

∵

∴，

∴

∴，

②若∠DCH=2∠ABC，如图2：

过点C作CF∥AB，交抛物线于F点，作DE⊥CF于点E．

∵AB∥CF ∴∠ABC=∠BCF

又∵∠DCH=2∠BCF

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF

∵点D坐标为，

∴CE=t，DE=

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴ （不合题意舍去），

即点D的横坐标为1．

若∠CDH=2∠ABC，如图3：

作∠ECB=∠ABC，过点B作BP∥HD，交CD的延长线于点P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC ∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC ，

在Rt△OEC中，

∴

∴CE=，

∴OE=OB-BE= ，

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵点B（3，0），点C（0，-2）

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC ∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC

∴tan∠CPB=tan2∠ABC==．

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90° ，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°

∴△BOC∽△PFB ∴

∴PF=BF=

∴

∴点P坐标

∵点C（0，-2），点P

∴直线PC解析式

∵直线CP与抛物线交于C，D两点

∴

解得：

∴点D的横坐标为

综上所述：点D的横坐标为或1