Question

【题目】如图1，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点E是BD上方抛物线上的一点，连接AE交DB于点F，若AF=2EF，求出点E的坐标．

（3）如图3，点M的坐标为（，0），点P是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP，将MP沿MD折叠，若点P恰好落在抛物线的对称轴CE上，请求出点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（2，3）或（1，4）；（3）P点横坐标为

【解析】

(1) 抛物线的顶点为C（1，4），设抛物线的解析式为，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a的值，即可求得解析式；

（2）过点E、F分别作x轴的垂线，交x轴于点M、N，设点E的坐标为，求出A、D点的坐标，得到OM=x，则AM=x+1，由AF=2EF得到，从而推出点F的坐标，由，列出关于x的方程求解即可；

（3）先根据待定系数法求出直线DM的解析式为y=-2x+3，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.证明△FGP≌△FHQ，得到FG=FH，PT=GH.设点P（m，-m+2m+3），则T（m，-2m+3），则PT=m-4m，GH=1-m，可得m-4m=（1-m），解方程即可.

（1）∵抛物线的顶点为C（1，4），

∴设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点B,（3，0），

∴，

解得a=-1，

∴设抛物线的解析式为，

即；

（2）如图，过点E、F分别作x轴的垂线，交x轴于点M、N，设点E的坐标为，

∵抛物线的解析式为，

当y=0时，，

解得x=-1或x=3，

∴A（-1.0），

∴点D（0,3），

∴过点BD的直线解析式为，点F在直线BD上，

则OM=x，AM=x+1，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得x=1或x=2，

∴点E的坐标为（2，3）或（1，4）；

（3）设直线DM的解析式为y=kx+b，过点D（0,3），M（，0），

可得，，

解得k=-2，b=3，

∴直线DM的解析式为y=-2x+3，

∴，，

∴tan∠DMO=2，

如图，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.

∵PQ⊥MT，

∴∠TFG=∠TPF，

∴TG=2GF，GF=2PG，

∴PT=GF，

∵PF=QF，

∴△FGP≌△FHQ，

∴FG=FH，

∴PT=GH.

设点P（m，-m+2m+3），则T（m，-2m+3），

∴PT=m-4m，GH=1-m，

∴m-4m=（1-m），

解得：，或（不合题意，舍去），

∴点P的横坐标为.