Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）求四边形ABDE的周长和面积；

（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）ABDE的周长为：，面积为；

（3）①；②S1+S2的值为定值，这个定值为

【解析】

（1）利用菱形的性质得：AB∥DE，由两组对边分别平行的四边形可得结论；
（2）设对角线AC与BD相交于点O．根据直角三角形30°角的性质得AC的长，由勾股定理得OB的长和BD的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积；
（3）①先根据三角形的周长计算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE，确定AP+PE的最大值和最小值即可；
根据轴对称的最短路径问题可得：当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4，由图形可知：当P在点B处时，AP+PE的值最大，构建直角三角形计算即可；
②S1+S2的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

即AB∥DE．

∵BD∥AE，

∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．

在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，

∴OB＝．

∴BD＝2BO＝2．

∴ABDE的周长为：2AB+2BD＝4+4，

ABDE的面积为：BDAO＝2×1＝2．

（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，

∵C和A关于直线BD对称，

∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，

当P在点B处时，AP+PE的值最大，如图2，

过E作EG⊥BD，交BD的延长线于G，

∵∠BDE＝150°，

∴∠EDG＝30°，

∵DE＝2，

∴EG＝1，DG＝，

Rt△PEG中，BG＝2+＝3，

由勾股定理得：PE＝，

∴AP+PE的最大值是：2+2，

∵P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），

∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；

（写对一边的范围给一分）

②S1+S2的值为定值，这个定值为；

理由是：S1+S2＝．