Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2

【解析】

（1）连结DC，根据圆周角定理得到∠DCA=∠DOA，由∠ADQ=∠DOQ，可得∠DCA=∠ADQ，根据余角的性质得到∠ADQ+∠ADO=90°，即可得结论；

（2）根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线，得PD=PC，连接OP，可证得OP∥AD，根据平行线分线段长比例定理得到OP的长，根据三角形中位线定理得AB的长，最后由射影定理即可求出结果．

解：（1）连接DC，

∵，

∴∠DCA=∠DOA，

∵∠ADQ=∠DOQ，

∴∠DCA=∠ADQ，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DCA+∠DAC＝90°，

∴∠ADQ+∠DAC＝90°，

∵∠ADO=∠DAC，

∴∠ADQ+∠ADO=90°，

∴，即DP是⊙O切线；

（2）∵∠C=90°，OC为半径．

∴PC是⊙O切线，

∴PD=PC，

连接OP，

∴∠DPO=∠CPO，

∴OP⊥CD，

∴OP∥AD，

∵AQ=AC=2OA，

∴，

∵AD=4，

∴OP=6，

∵O为AC中点、OP∥AD，则OP是△ACB的中位线，

∴AB=12，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴BC2=BDBA=96，

∴BC=，

∴BP=．