Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣mx﹣m﹣1与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求点A、B的坐标；

（2）点D是抛物线上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；

（3）将抛物线向上平移m个单位，交线段BC于点M，N，若∠MON＝45°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）D（，﹣）或（5，12）；（3）m＝

【解析】

（1）把C点的坐标代入解析式可得：﹣m﹣1＝﹣3，解得：m＝﹣2，即可求解；

（2）①当点D在BC下方时，∠ACO+∠BCD＝45°，则AC⊥CD，则直线CD的表达式为：y＝x﹣3，联立①②并解得：x＝0或，即可求解；②当点D（D′）在BC上方时，ED的表达式为：y＝﹣x+，点H（，﹣），点E的坐标为：（，2），即可求解；

（3）证明△NOM∽△NCO，则NO2＝MNCN，即可求解．

（1）把C（0，﹣3）代入解析式可得：﹣m﹣1＝﹣3，解得：m＝﹣2，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3

令y＝0，解得：x＝3或﹣1，

故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）①当点D在BC下方时，

∵∠ACO+∠BCD＝45°，则AC⊥CD，

设直线AC的解析式为y=k1x-3，代入A（﹣1，0）可得：k1=-3，

∴直线AC的解析式为y=-3x-3，

则直线CD的表达式为：y＝x﹣3，

联立得： ，解得：x＝0或（0舍去），

故点D（，﹣）；

②当点D（D′）在BC上方时，

过点D作DE⊥BC交BC于点H，交CD′于点E，则D点、E点关于直线BC对称，

设直线BC的解析式为y=k2x+b，把B(3，0），C(0，-3)代入得：

解得：

∴直线BC的表达式为：y＝x﹣3

设直线ED的表达式为：y=-x+n，把点D（，﹣）代入得：n=

则ED的表达式为：y＝﹣x+

联立得： ，解得：x＝，故点H（，﹣），根据中点坐标公式可求得点E的坐标为：（，﹣），

设直线CE的表达式为y=ax+c，可得 ，解得

则直线CE的表达式为：y＝3x﹣3

联立得： ，解得：x＝0或5（0舍去），

故点D（D′）的坐标为：（5，12），

综上，点D的坐标为：（，﹣）或（5，12）；

（3）如图2，抛物线平移后的图象为虚线部分，

则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3+m（m＞0），

则x2﹣2x﹣3+m=x-3，

∴x2﹣3x+m=0，

设点M、N的坐标分别为：（x1，y1）、（x2、y2），

则x1+x2＝3，x1x2＝m，x2＝，

∵∠MON＝45°＝∠OCM，∠ONM＝∠ONM，

∴△NOM∽△NCO，

∴NO2＝MNCN，

而NO2＝（x22+y2/span>2），MN＝（x2﹣x1），CN＝x2，

即（x22+y22）＝2x2（x2﹣x1），

即2x1x2＝x22﹣y22，而y2＝x2﹣3，

∴2x1x2＝6x2﹣9

即2m=×6﹣9

解得：m＝或 （不符合题意，舍去）．

∴m＝